本文提出两个可立即落地的数学驱动模块，用以测试与重构现有 AI 系统：
1.流形感知注意力（Manifold-Aware Attention, 简称 D-Attention）
以热核$$K_t(x,y)=\exp(-d_g^2(x,y)/(4t)) $$ 的思想，在局部邻域为注意力提供“流形偏置（heat-kernel bias）”，只在 top-k 邻域内归一化，避免全局$$ (BN)^2 $$级别的内存与计算。
2.自然梯度动力系统优化器（NGD-Opt）
在信息几何框架下，仅对 Linear/Attention 投影层进行低频二阶预条件（K-FAC/EKFAC 风格），把优化视作黎曼流形上的更新；其实现不做“每步 SVD”，而是定期更新近似的 (A,G) 前置条件器。
两者都给出最小可复现代码与实验清单，并明确限制与验证路径。
- 动机与问题本质
1.1 注意力的欧氏假设
标准注意力：
$$\mathrm{Attn}(Q,K,V)=\mathrm{softmax}\!\left(\frac{QK^{\top}}{\sqrt{d_k}}\right)V $$
在欧氏空间上用内积衡量相似度；而真实数据常服从低维流形假设（如 1024×1024 人脸的可感知变化仅需少量自由度）。这会导致拓扑错位：欧氏近邻不一定是语义近邻。
1.2 优化的欧氏假设
SGD/Adam 默认参数空间是平坦欧氏空间：
$$\theta_{t+1}=\theta_t-\eta\nabla_{\theta}L(\theta_t) $$
但在统计意义上，参数空间的“度量”应由 Fisher 信息矩阵$$F_{\theta}$$ 给出。自然梯度（Amari）：
$$\tilde{\nabla}_{\theta}L=F_{\theta}^{-1}\nabla_{\theta}L $$
才是“几何正确”的下降方向。
- 方案一：流形感知注意力（D-Attention）
2.1 数学框架（热核作偏置，而非全局矩阵指数）
给定图拉普拉斯 L，热核$$H_t=\exp(-tL) $$
在小 t 下近似局部扩散。我们采用工程等价替代：在每个 head 的top-k 邻域内，用
$$w_{ij}=\exp\!\left(-\frac{\lVert x_i-x_j\rVert^2}{4t}\right) $$
作为 attention bias 的指数形式。最后的局部注意力 logits 为
$$\mathrm{logits}_{ij}=\alpha\cdot\frac{\langle q_i,k_j\rangle}{\sqrt{d}}+\beta\cdot\log(w_{ij}+\varepsilon),\quad j\in\mathcal{N}_k(i) $$
$$其中 $\alpha,\beta,t>0 可学习（\beta 可 warm-up），并仅在邻域 \mathcal{N}_k(i) 内做 softmax；邻域外置为 -\infty。 $$
要点：
避免构造全局 (BN)×(BN)矩阵；
邻域以 Keys 空间构造（稳定、可缓存）；
训练中邻域选择不可微，但内部权重对特征可微，实践可行。
2.2 工程实现（最小可复现版，PyTorch）
说明：输入为分好 head 的张量 (B, H, N, d)。为便于复现，小规模序列用 torch.cdist 构邻域；大规模可替换为 FAISS/ANN。
import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
class ManifoldAwareAttention(nn.Module):
"""
Minimal reproducible neighborhood attention with heat-kernel bias.
Shapes: Q,K,V ∈ (B, H, N, d)
"""
def init(self, k=32, t_init=0.5, learn_t=True, learn_gate=True, eps=1e-6):
super().init()
self.k = k
self.eps = eps
self.t_param = nn.Parameter(torch.tensor([t_init]).log()) if learn_t else None
self.alpha = nn.Parameter(torch.tensor(1.0)) if learn_gate else None
self.beta = nn.Parameter(torch.tensor(1.0)) if learn_gate else None
def forward(self, Q, K, V, key_padding_mask=None):
# Q,K,V: (B,H,N,d)
B,H,N,d = Q.shape
device = Q.device
scale = 1.0 / (d ** 0.5)
# 1) 构造每个 head 的 top-k 邻域（小规模演示用 cdist；大规模请替换为 FAISS）
# dist: (B,H,N,N)
with torch.no_grad():
dist = torch.cdist(K, K) # L2
# 自身置大避免自选
dist = dist + torch.eye(N, device=device)[None,None,:,:] * 1e6
idx = dist.topk(self.k, largest=False, dim=-1).indices # (B,H,N,k)
# 2) Gather 邻域 K,V
idx_exp_d = idx[..., None].expand(B,H,N,self.k,d) # for K,V gather
K_nbr = torch.gather(K, 2, idx_exp_d) # (B,H,N,k,d)
V_nbr = torch.gather(V, 2, idx_exp_d) # (B,H,N,k,d)
# 3) 计算局部 logits：点积 + 热核偏置
# 点积项: (B,H,N,k)
logits_local = (Q.unsqueeze(3) * K_nbr).sum(-1) * scale
# 热核项
t = torch.exp(self.t_param)[0] if self.t_param is not None else 0.5
dist2_local = ((K.unsqueeze(3) - K_nbr) ** 2).sum(-1) # (B,H,N,k)
w = torch.exp(- dist2_local / (4.0 * t + self.eps)) # (B,H,N,k)
heat_bias = torch.log(w + self.eps)
alpha = self.alpha if self.alpha is not None else 1.0
beta = self.beta if self.beta is not None else 1.0
logits = alpha * logits_local + beta * heat_bias # (B,H,N,k)
# 4) mask（可选）：对 padding 的邻居置 -inf
if key_padding_mask is not None: # (B, N), True 表示 padding
# 对邻域索引映射出邻域是否为 padding
kpm = key_padding_mask[:, None, None, :].expand(B,1,1,N) # (B,1,1,N)
nbr_pad = torch.gather(kpm.squeeze(1).squeeze(1), -1, idx.view(B*H*N, self.k))\
.view(B,H,N,self.k)
logits = logits.masked_fill(nbr_pad, float('-inf'))
# 5) 局部 softmax + 加权求和
attn = F.softmax(logits, dim=-1) # (B,H,N,k)
out = (attn[..., None] * V_nbr).sum(dim=3) # (B,H,N,d)
return out, attn, idx
实用建议
复杂度：O(B·H·N·k·d)；k≪N 时显著优于致密注意力。
邻域刷新频率：训练时可每 R 步（如 50~200）刷新一次邻域，平时复用缓存，降低抖动与开销。
大规模替换：把 cdist+topk 换成 FAISS 的 IndexFlatL2 或 ANN 索引；仍按 head 分块构图。
与 FlashAttention：本实现是“邻域块内的致密注意力”。要与 FlashAttention 完整融合，需用块稀疏内核（工程可行，但非“一键即用”）。
- 方案二：自然梯度动力系统优化器（NGD-Opt）
3.1 信息几何视角
以Fisher度量定义的黎曼流形上，最稳健的更新方向是
$$\Delta\theta=-\eta F^{-1}\nabla_{\theta}L $$
工程上我们采用 K-FAC/EKFAC 风格的低频近似：
仅对 nn.Linear / Attention 投影层维护
$$A\approx\mathbb{E}[aa^{\top}],\quad G\approx\mathbb{E}[gg^{\top}] $$
的滑动估计（a 为层输入激活，g 为层输出梯度），并每隔 K 步更新其$$(\cdot+\lambda I)^{-\tfrac{1}{2}} $$ 近似（eigh 或迭代开方法），步内复用。
3.2 工程实现（最小可复现版，PyTorch）
说明：只处理 nn.Linear.weight（二维）。其它参数（如 bias/LayerNorm/Conv）回落到常规一阶优化。
import torch
import torch.nn as nn
from torch.optim.optimizer import Optimizer
class NGDPrecondState:
def init(self, in_dim, out_dim, device):
self.A = torch.eye(in_dim, device=device) 1e-3 # E[aa^T]
self.G = torch.eye(out_dim, device=device) 1e-3 # E[gg^T]
self.A_inv_sqrt = torch.eye(in_dim, device=device)
self.G_inv_sqrt = torch.eye(out_dim, device=device)
class NGD_Opt(Optimizer):
"""
Natural-gradient-like optimizer (K-FAC/EKFAC style, low-frequency updates)
- Handles nn.Linear.weight with shape (out, in)
- Others fall back to Adam-like step (or SGD if you prefer)
"""
def __init__(self, model, lr=2e-4, beta=0.95, damping=1e-3, update_freq=100):
self.model = model
self.lr = lr
self.beta = beta
self.damping = damping
self.update_freq = update_freq
self.step_count = 0
# states
self.handles = []
self.lin_modules = []
self.state = {} # module -> NGDPrecondState
params = []
for m in model.modules():
if isinstance(m, nn.Linear):
self.lin_modules.append(m)
self.state[m] = NGDPrecondState(m.in_features, m.out_features, next(m.parameters()).device)
# forward hook to cache activations
self.handles.append(m.register_forward_pre_hook(self._save_input))
# backward hook to cache output-grad
self.handles.append(m.register_full_backward_hook(self._save_grad_out))
params.append(m.weight)
if m.bias is not None: params.append(m.bias)
else:
# collect other params for fallback
for p in m.parameters(recurse=False):
if p.requires_grad and p not in params:
params.append(p)
super().__init__([{'params': params}], dict(lr=lr))
self._cache = {} # module -> {'a':..., 'g':...}
def _save_input(self, module, inp):
a = inp[0] # (B, in)
self._cache.setdefault(module, {})['a'] = a.detach()
def _save_grad_out(self, module, grad_input, grad_output):
# grad_output[0]: (B, out)
g = grad_output[0]
self._cache.setdefault(module, {})['g'] = g.detach()
@torch.no_grad()
def _update_precond(self):
for m in self.lin_modules:
c = self._cache.get(m, None)
if c is None or 'a' not in c or 'g' not in c:
continue
a = c['a'] # (B,in)
g = c['g'] # (B,out)
st = self.state[m]
# EMA 协方差（均值中心化可选）
st.A.mul_(self.beta).add_((1-self.beta) * (a.t() @ a) / max(1, a.shape[0]))
st.G.mul_(self.beta).add_((1-self.beta) * (g.t() @ g) / max(1, g.shape[0]))
# 低频更新逆平方根
A = st.A + self.damping * torch.eye(st.A.shape[0], device=st.A.device)
G = st.G + self.damping * torch.eye(st.G.shape[0], device=st.G.device)
# eigh 数值稳定、可对称
eigA, QA = torch.linalg.eigh(A)
eigG, QG = torch.linalg.eigh(G)
st.A_inv_sqrt = QA @ torch.diag(torch.clamp(eigA, min=1e-8).rsqrt()) @ QA.t()
st.G_inv_sqrt = QG @ torch.diag(torch.clamp(eigG, min=1e-8).rsqrt()) @ QG.t()
@torch.no_grad()
def step(self, closure=None):
self.step_count += 1
# 低频更新前置条件
if self.step_count % self.update_freq == 0:
self._update_precond()
# 参数更新
for group in self.param_groups:
for p in group['params']:
if p.grad is None:
continue
g = p.grad
# Linear.weight 用二阶预条件
found = False
for m in self.lin_modules:
if p is m.weight and m in self.state:
st = self.state[m]
# G^{-1/2} @ grad @ A^{-1/2}
g_pre = st.G_inv_sqrt @ g @ st.A_inv_sqrt
p.add_(-self.lr * g_pre)
found = True
break
if not found:
# 其它参数：一阶退化（可替换成 SGD/Adam）
p.add_(-self.lr * g)
使用建议
层选择：默认只加速 Linear.weight（Attention 的 Q/K/V/Out 映射全部属于此类）。Conv 可先不启用。
低频更新：update_freq 取 50~200，额外开销可控。
与 Adam 的混合：前 5%~10% 训练步用 Adam 快速进入 basin，随后切换为 NGD-Opt 精调。
- 快速验证（24 小时能复现的版本）
目标：先做小规模、标准化的“能跑通 & 有稳定正向信号”的实验，随后再扩到大模型/长序列。
4.1 语义相似度（STS-B）
模型：bert-base-uncased（HuggingFace）
改动：将 BertSelfAttention 的 context_layer 计算替换为 D-Attention（只改局部 head 内的 softmax）。
超参：k=32, t_init=0.5, β 从 0→1 线性 warm-up 2~3 epoch；学习率、batch 与官方默认一致。
指标：Spearman 相关（dev/test），3 个 seed（42/123/2025）取均值±方差；同时记录吞吐与峰值显存。
脚本示意：伪代码：将 ManifoldAwareAttention 替换到 BERT 的自注意力中
python run_glue.py \
--model_name_or_path bert-base-uncased \
--task_name stsb \
--do_train --do_eval \
--per_device_train_batch_size 32 \
--learning_rate 2e-5 \
--num_train_epochs 3 \
--seed 42
4.2 图像分类（CIFAR-10）
模型：ResNet-50（可用 torchvision）
优化器：前 10 epoch 用 AdamW（lr=1e-3），之后切换为 NGD_Opt(update_freq=100, lr=2e-4, beta=0.95, damping=1e-3)；
指标：Top-1、达到固定精度的步数/时长；3 个 seed 均值±方差；记录额外开销。
脚本示意（伪代码）：
opt = torch.optim.AdamW(model.parameters(), lr=1e-3)
for epoch in range(10):
train_one_epoch(model, opt, train_loader)
opt = NGD_Opt(model, lr=2e-4, update_freq=100, beta=0.95, damping=1e-3)
for epoch in range(10, 100):
train_one_epoch(model, opt, train_loader)
注意：本文不给“夸张跑分”，而是定位可复现路径。等你跑出曲线与日志，再把数值填进表格即可。
5.相关工作与定位
注意力侧：我们的做法属于邻域/稀疏注意力与核化注意力的交叉：用热核作偏置、在top-k 局部做 softmax，避免全局矩阵指数。
自然梯度侧：与 K-FAC/EKFAC、Shampoo 等同宗，但我们限定层类型 + 低频更新，以最小工程改动拿到“几何校正”的收益。
6.复杂度与工程权衡
D-Attention：计算/显存约为 O(BHNkd)与 O(BHNk)；k 可线性随层深/序列长做分层策略（前层大、后层小或反之）。
NGD-Opt：update_freq 内摊薄到 <10% 额外开销（取决于线性层维度与设备），实践中比“每步 SVD”稳定和高效。
7.限制与威胁
邻域选择不可微：训练早期可能抖动；建议 R 步刷新 + β warm-up。
长序列 KNN 构图：需 FAISS/ANN；分块或滑窗策略能进一步降本。
层适配：NGD-Opt 目前只cover nn.Linear.weight；Conv、LN、Embedding 可逐步纳入。
SDE 噪声项：若要验证“噪声等价正则”的叙述，需要额外实验（本实现未默认开启）。
8.复现交付清单（可以直接附到文末）
代码：ManifoldAwareAttention.py、NGD_Opt.py 两个独立文件；
Patch 指南：在 HF 的 BertSelfAttention 中替换局部 softmax；在训练脚本里 import NGD-Opt 并切换 epoch；
实验记录：固定 seed×3，保存 metrics.json、训练曲线（loss/acc）、吞吐、显存；
环境：PyTorch≥2.2，CUDA≥11.8（FAISS 可选）；A100/80G 或同等级别。
9.总结
把“数学”当生成工具而非“事后解释”：
流形视角让注意力看见语义拓扑；
信息几何让优化顺着曲率走。
