组合问题

组合问题指的是从给定的 N 个数中找出任意 K 个数的所有组合。例如，从 [1, 2, 3, 4] 这 4 个数中找到任意 2 个数的所有组合，它们是：

1 2

1 3

1 4

2 3

2 4

3 4

注意，组合内的元素是没有顺序的，这就意味着 [1, 2] 和 [2, 1] 是同一个组合。因此从 [1, 2, 3, 4] 中找到任意 2 个数的组合，一共有 6 组。

再比如，从 [1,2,3,4] 这 4 个数中找到任意 3 个数的所有组合，它们是：

1 2 3

1 2 4

1 3 4

2 3 4

编程解决组合问题，多数读者最先想到的思路是用嵌套的循环结构。比如从 [1, 2, 3, 4] 中找到任意 2 个数的组合，对应的 C 语言实现代码为：

1. #include <stdio.h>
2. int main()
3. {
4. int nums[] = { 1,2,3,4 };
5. // i 的值作为选择的第一个数
6. for (int i = 0; i < 4; i++) {
7. // j 的值作为选择的第二个数
8. for (int j = i + 1; j < 4; j++) {
9. printf("%d %d\n", nums[i], nums[j]);
10. }
11. }
12. return 0;
13. }

类似的，查找任意 3 个数的组合，需要用 3 个嵌套的循环结构实现。也就是说，从 N 个数中找到任意 K 个数的所有组合，用循环结构实现的话，需要用 K 个嵌套的循环结构。

嵌套的循环结构解决组合问题，只适合 K 值较小的情况，比如 K 是 2 或者 3。当 K 值较大时，比如 10、20 甚至更大，循环嵌套的层数非常多，代码变得复杂、难以维护，算法的时间复杂度也会呈指数级增长，导致效率极低，这种情况下更推荐用回溯算法解决组合问题。

回溯算法解决组合问题

假设在 {0, 1, 2, 3} 这 4 个数中找到任意 3 个数的所有组合，下面是回溯算法的整个实现思路：

从 {0,1,2,3} 里，选择元素 0；

   从 {1,2,3} 里，选择元素 1；

       从 {2,3} 里，选择元素 2，找到了 {0,1,2} 组合；

       回溯到 {2,3}，选择元素 3，找到了 {0,1,3} 组合；

       回溯到 {2,3}，没有元素可以选择，再次回溯；

   回溯到 {1,2,3}，选择元素 2；

       从 {3} 里选择元素 3，找到了 {0,2,3} 组合；

       回溯到 {3}，没有元素可以选择，再次回溯；

   回溯到 {1,2,3}，只剩 3 可以选择，无法构成一个新的组合，直接回溯；

回溯到 {0,1,2,3}，选择元素 1；

   从 {2,3} 里，选择元素 2；

       从 {3} 里选择元素 3，找到了 {1,2,3} 组合；

   回溯到 {2,3}，只剩 3 可以选择，无法构成一个新的组合，直接回溯；

回溯到 {0,1,2,3}，只剩 2 和 3 可以选择，无法构成一个新的组合，算法执行结束。

仔细观察整个过程不难发现，每选择一个元素 e，下次选择是在 e 之后的元素里进行。比如选择了元素 1 和 2，下次选择就是在 {3} 中进行，而不是 {0, 3}。这样做的好处是，可以确保每种组合只找到一次，不会重复。

实现回溯算法，通常会采用递归的方式，下面是用回溯算法解决组合问题的 C 语言代码：

1. #include <stdio.h>
2. #include <stdlib.h>
3. #define N 4  // 定义数组的大小
4. #define K 2  // 定义组合的大小
5. 
   
6. // 为实现回溯算法做前期准备的函数
7. void printCombination(int arr[], int n, int k);
8. // 实现用回溯算法解决组合问题的递归函数
9. void combinationUtil(int arr[], int data[], int start, int end, int index, int k);
10. 
    
11. int main() {
12. int arr[N];  // 声明一个大小为 N 的数组
13. 
    
14. // 初始化数组为 {1, 2, 3, 4}
15. for (int i = 0; i < N; i++) {
16.        arr[i] = i + 1;
17. }
18. // 调用 printCombination 函数来打印所有可能的组合
19. printCombination(arr, N, K);
20. return 0;
21. }
22. 
    
23. // 用于初始化临时数组并开始组合过程
24. void printCombination(int arr[], int n, int k) {
25. // 动态创建一个数组，用于存储选择了的元素
26. int* data = (int*)malloc(k * sizeof(int));
27. 
    
28. // 使用回溯生成所有组合
29. combinationUtil(arr, data, 0, n, 0, k);
30. 
    
31. free(data);  // 释放之前分配的内存
32. }
33. 
    
34. // 在 arr 数组中的[start,end)下标范围内，找到 k 个可选择的元素
35. // data[] 数组用于存储被选择了的元素
36. // index 参数用来统计被选择的元素个数
37. void combinationUtil(int arr[], int data[], int start, int end, int index, int k) {
38. // 如果已找到一个完整的组合
39. if (index == k) {
40. // 打印当前组合
41. for (int j = 0; j < k; j++) {
42. printf("%d ", data[j]);
43. }
44. printf("\n");
45. return;
46. }
47. 
    
48. // 递归生成所有可能的组合
49. for (int i = start; (i < end) && (end - i + 1 >= k - index); i++) {
50.        data[index] = arr[i];  // 将当前元素加入到当前组合中
51. combinationUtil(arr, data, i + 1, end, index + 1, k);  // 递归调用以选择下一个元素
52. }
53. }

程序中自定义了两个函数，真正实现“回溯算法解决组合问题”的是 combinationUtil() 函数，而 printCombination() 函数存在的意义是创建一个数组，用来存储回溯过程被选择的元素，以便后续输出符合要求的组合。

虽然 combinationUtil() 函数的参数数量比较多，但非常容易理解：

• [start, end)：start 和 end 用来表示 arr 数组中的下标范围，也是可选择的元素范围。递归过程中，end 的值不变，但 start 的值是变化的；
• arr 和 k：arr 数组用于存储所有的元素；k 用于指定要选择的元素数量。整个递归过程中，arr 和 k 都是不变的。
• data 和 index：data 数组用来存储被选择了的元素；index 用来记录已经选择了的元素数量。

程序中，需要重点解释的是第 49 行的循环条件(i < end) && (end - i + 1 >= k - index)，其中 (end - i + 1 >= k - index) 的含义是：

• end - i + 1：计算的是从当前元素（包括当前元素）到数组末尾的元素数量，也就是从当前元素开始，数组中还剩下多少个元素可以被选择。
• k - index：表示为了达到指定的组合大小，还需要选择多少个元素。

如果可选元素的数量能满足需求，即end - i + 1 >= k - index成立，可以继续筛选；反之，如果可选元素的数量无法满足需求，说明当前情况下已经无法找到符合条件的组合，直接回溯即可。

通常情况下，多数读者只会想到i < end作为循环条件，程序也是能正常运行的。添加end - i + 1 >= k - index作为循环条件，可以过滤掉一些无效的、没必要存在的递归过程，进一步优化程序的运行效率。

下面是回溯算法解决组合问题的 Python 程序：

1. def print_combination(arr, n, k):
2.    """
3.    用于初始化临时列表并开始组合过程
4.    """
5. # 创建一个列表，用于存储选择的元素
6.    data = [0] * k
7. # 使用回溯生成所有组合
8. combination_util(arr, data, 0, n, 0, k)
9. 
   
10. def combination_util(arr, data, start, end, index, k):
11.    """
12.    在 arr 列表中 [start, end) 下标范围内，找到 k 个可选择的元素
13.    data 列表用于存储被选择的元素
14.    index 参数用来统计被选择的元素个数
15.    """
16. # 如果已找到一个完整的组合
17. if index == k:
18. # 打印当前组合
19. for i in data:
20. print(i, end=' ')
21. print()
22. return
23. 
    
24. # 递归生成所有可能的组合
25. for i in range(start, end):
26. if end - i >= k - index:
27.            data[index] = arr[i]  # 将当前元素加入到当前组合中
28. combination_util(arr, data, i + 1, end, index + 1, k)  # 递归调用以选择下一个元素
29. 
    
30. # 定义列表的大小和组合的大小
31. N = 4
32. K = 2
33. 
    
34. if __name__ == "__main__":
35. # 声明一个大小为 N 的列表并初始化为 {1, 2, 3, 4}
36.    arr = [i + 1 for i in range(N)]
37. # 调用 print_combination 函数来打印所有可能的组合
38. print_combination(arr, N, K)

下面是回溯算法解决组合问题的 Java 程序：

1. public class Combination {
2. 
   
3. public static void main(String[] args) {
4. final int N = 4; // 定义数组的大小
5. final int K = 2; // 定义组合的大小
6. int[] arr = new int[N];
7. 
   
8. // 初始化数组为 {1, 2, 3, 4}
9. for (int i = 0; i < N; i++) {
10.            arr[i] = i + 1;
11. }
12. 
    
13. // 调用 printCombination 函数来打印所有可能的组合
14. printCombination(arr, N, K);
15. }
16. 
    
17. // 用于初始化临时数组并开始组合过程
18. public static void printCombination(int[] arr, int n, int k) {
19. int[] data = new int[k];
20. 
    
21. // 使用回溯生成所有组合
22. combinationUtil(arr, data, 0, n, 0, k);
23. }
24. 
    
25. // 在 arr 数组中的[start, end)下标范围内，找到 k 个可选择的元素
26. // data 数组用于存储被选择了的元素
27. // index 参数用来统计被选择的元素个数
28. public static void combinationUtil(int[] arr, int[] data, int start, int end, int index, int k) {
29. // 如果已找到一个完整的组合
30. if (index == k) {
31. // 打印当前组合
32. for (int i = 0; i < k; i++) {
33.                System.out.print(data[i] + " ");
34. }
35.            System.out.println();
36. return;
37. }
38. 
    
39. // 递归生成所有可能的组合
40. for (int i = start; (i < end) && (end - i + 1 >= k - index); i++) {
41.            data[index] = arr[i]; // 将当前元素加入到当前组合中
42. combinationUtil(arr, data, i + 1, end, index + 1, k); // 递归调用以选择下一个元素
43. }
44. }
45. }

运行结果，结果为：

1 2

1 3

1 4

2 3

2 4

3 4